(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
a__U11(tt, U11(tt, X2103_3)) →+ s(a__length(a__U11(tt, X2103_3)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X2103_3 / U11(tt, X2103_3)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__isNatList(V1)
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNatIList(V) → a__isNatList(V)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatIList(V2))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNatList(V2))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(a__and(a__isNatList(L), isNat(N)), L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11,
a__length,
mark,
a__and,
a__isNat,
a__isNatList,
a__isNatIListThey will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11, mark, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, mark, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__and, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(
n137_0)) →
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(
n137_0), rt ∈ Ω(1 + n137
0)
Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(n137_0, 1))) →RΩ(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)), 0') →IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(c138_0), 0')
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(14) Complex Obligation (BEST)
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U11, a__length, a__isNat, a__isNatList, a__isNatIList
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U11, a__length, a__isNatList, a__isNatIList
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatList, a__U11, a__length, a__isNatIList
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatList.
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatIList, a__U11, a__length
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatIList.
(23) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.
(25) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__isNatList
a__U11 = a__isNatIList
a__length = mark
a__length = a__and
a__length = a__isNat
a__length = a__isNatList
a__length = a__isNatIList
mark = a__and
mark = a__isNat
mark = a__isNatList
mark = a__isNatIList
a__and = a__isNat
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNatIList
a__isNat = a__isNatList
a__isNat = a__isNatIList
a__isNatList = a__isNatIList
(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(27) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
No more defined symbols left to analyse.
(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
(29) BOUNDS(n^1, INF)
(30) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__isNatList(
V1)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNatIList(
V) →
a__isNatList(
V)
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatIList(
V2))
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNatList(
V2))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
a__and(
a__isNatList(
L),
isNat(
N)),
L)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
and :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(x), 0')
No more defined symbols left to analyse.
(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:isNatIList:nil:isNatList:isNat:U11:and2_0(n137_0), rt ∈ Ω(1 + n1370)
(32) BOUNDS(n^1, INF)